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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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4. Sean $f(x)=2 x-1$ y $g(x)=\frac{1}{x+3}-2$. Hallar las funciones $f \circ g$ y $g \circ f$. Escribir las ecuaciones de las asintotas verticales y horizontales de ambas funciones.

Respuesta

$f(x) = 2x-1$ $g(x) = \frac{1}{x+3}-2$

• Primero vamos a obtener $f \circ g(x)$
$f \circ g(x) = f(g(x)) = 2\left(\frac{1}{x+3}-2\right)-1 = \frac{2}{x+3}-5$

• Asíntota Horizontal (A.H.)
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5$
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5$


Hay A.H. en $y=-5$ 



• Asíntota Vertical (A.V.)

1. Primero averiguamos el dominio
$x+3 \ne 0$ 


$x \ne 3$

Dom $f: \mathbb{R} -\{-3\}$



2. Evaluamos el límite en ese punto:
$\lim_{x\rightarrow-3^{-}} \frac{2}{x+3}-5 = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-3^{+}} \frac{2}{x+3}-5 = +\infty$


Hay A.V. en $x=-3$ 



• Ahora vamos a obtener $g \circ f(x)$
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{1}{2x-1+3}-2 = \frac{1}{2x+2}-2$



• Asíntota Horizontal (A.H.) 

$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2$
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2$


Hay A.H. en $y=-2$ 



• Asíntota Vertical (A.V.) 

1. Primero averiguamos el dominio

 
$2x+2 \ne 0$
$2x \ne -2$
$x \ne -1$
Dom $f: \mathbb{R} -\{-1\}$



2. Evaluamos el límite en ese punto:

$\lim_{x\rightarrow-1^{-}} \frac{1}{2x+2}-2 = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-1^{+}} \frac{1}{2x+2}-2 = +\infty$


Hay A.V. en $x=-1$
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Avatar Bel 4 de mayo 14:57
Juli, todavía no vimos límites, te consulto, porque yo te entendí que la AV es el valor de B en este tipo de estructura de funciones. Según gof donde el denominador queda 2x+2 entiendo el valor de B es -2, por lo que en ese caso debería ser el valor de la AV. Pero, es -1. Eso quiere decir que no siempre es así, no? Conviene plantear que el denominador nunca puede ser 0 y despejar?
Avatar Julieta Profesor 5 de mayo 12:19
@Bel Hola Bel!! Mirá! Todavía no vieron límites pero sí están viendo funciones homográficas? Pregunta, en tu clase el profe les da estas fórmulas que les doy yo para que resuelvan? O todavía no empezaron a ver estas funciones? 

Mi consulta es porque no quiero que pierdas tiempo haciendo cosas de más. 

Muchos docentes no quieren que usen estas fórmulas para hallar las asíntotas que surgen de las dos formas de escribir las funciones homográficas. Prefieren que encuentren las asíntotas usando límites. Por eso es importante saber qué quieren tus docentes. 

Si tus profes quieren que hagas límites para hallar las asíntotas, vas a tener que hacerlo de esa forma. Y en ese caso estas fórmulas que yo les doy sirven para chequear rápidamente si hiciste bien el cálculo de las asíntotas por límites. 



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Después, sobre tu consulta puntual. $g \circ f$ no tiene la pinta de ninguna de ellas. Se parece bastante a la forma II, pero en el denominador tiene un número acompañando a $x$, así que no es exactamente igual a la fórmula como para poder usarla. 

Fijate que $f \circ g$ sí te quedó con esa estructura II. 

Avatar Tatiana 17 de septiembre 20:49
hola profe, cómo estás? una pregunta, por qué por ejemplo en los ejercicios anteriores a éste cuando calculamos limites es más general que este caso? me explico... en el ejercicio 2 de esta práctica cuando escribimos las ecuaciones de las asíntotas verticales (AV: x=2/3) el límite que buscamos fue lim x-->2/3, así en general y no agregándole un +(por derecha) y un -(por izquierda). En este ejercicio sí estamos haciendo eso (ver el resultado por izquierda y derecha), mi pregunta entonces es ¿por qué en algunos casos sí se hace más general y en otros, más desarrollado?
Lo mismo con asíntota horizontal en este caso y también el ejemplo del ejercicio 2 de esta misma práctica. En el ejercicio 2 la ecuación de la asíntota horizontal es (AH: y=5/3) y el límite se buscó como lim x--> +- oo (mas arriba, menos abajo, intinito). En cambio en este ejercicio buscando el límite se separan, por un lado X tendiendo a menos infinito y por el otro X tendiendo a mas infinito, no es general como el del ejercicio 2. Es la misma pregunta que lo anterior.
Muchas gracias y perdón por haberlo hecho de manera tan extendida jajaj, espero que se haya entendido!
Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 15:48
@Tatiana Hola Tati, me encantó tu redacción porque se entendió perfecto. 

En general si te piden graficar sí tenés que hacer el análisis de los límites por ambos lados, porque eso te permite graficar. Si es simplemente para informar las asíntotas no hace falta, peeeeero, como les cuento en el video de asíntotas, hay profes que prefieren que lo hagan de ambos lados y a otros les basta solo con un lado. Eso depende de cada profe. Yo les muestro ambas formas. 

Otra variante es que te pidan "la asíntota vertical por derecha" y en ese caso vas a planteas x -> $nº^+$, por ejemplo.
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