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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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4. Sean f(x)=2x−1f(x)=2 x-1 y g(x)=1x+3−2g(x)=\frac{1}{x+3}-2. Hallar las funciones f∘gf \circ g y g∘fg \circ f. Escribir las ecuaciones de las asintotas verticales y horizontales de ambas funciones.

Respuesta

f(x)=2x−1f(x) = 2x-1 g(x)=1x+3−2g(x) = \frac{1}{x+3}-2

• Primero vamos a obtener f∘g(x)f \circ g(x)
f∘g(x)=f(g(x))=2(1x+3−2)−1=2x+3−5f \circ g(x) = f(g(x)) = 2\left(\frac{1}{x+3}-2\right)-1 = \frac{2}{x+3}-5

• Asíntota Horizontal (A.H.)
lim⁡x→−∞2x+3−5=−5\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5
lim⁡x→+∞2x+3−5=−5\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5


Hay A.H. en y=−5y=-5 



• Asíntota Vertical (A.V.)

1. Primero averiguamos el dominio
x+3≠0x+3 \ne 0 


x≠3x \ne 3

Dom f:R−{−3}f: \mathbb{R} -\{-3\}



2. Evaluamos el límite en ese punto:
lim⁡x→−3−2x+3−5=−∞\lim_{x\rightarrow-3^{-}} \frac{2}{x+3}-5 = -\infty
lim⁡x→−3+2x+3−5=+∞\lim_{x\rightarrow-3^{+}} \frac{2}{x+3}-5 = +\infty


Hay A.V. en x=−3x=-3 



• Ahora vamos a obtener g∘f(x)g \circ f(x)
g∘f(x)=g(f(x))=12x−1+3−2=12x+2−2g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{1}{2x-1+3}-2 = \frac{1}{2x+2}-2



• Asíntota Horizontal (A.H.) 

lim⁡x→−∞12x+2−2=−2\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2
lim⁡x→+∞12x+2−2=−2\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2


Hay A.H. en y=−2y=-2 



• Asíntota Vertical (A.V.) 

1. Primero averiguamos el dominio

 
2x+2≠02x+2 \ne 0
2x≠−22x \ne -2
x≠−1x \ne -1
Dom f:R−{−1}f: \mathbb{R} -\{-1\}



2. Evaluamos el límite en ese punto:

lim⁡x→−1−12x+2−2=−∞\lim_{x\rightarrow-1^{-}} \frac{1}{2x+2}-2 = -\infty
lim⁡x→−1+12x+2−2=+∞\lim_{x\rightarrow-1^{+}} \frac{1}{2x+2}-2 = +\infty


Hay A.V. en x=−1x=-1
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Tatiana
17 de septiembre 20:49
hola profe, cómo estás? una pregunta, por qué por ejemplo en los ejercicios anteriores a éste cuando calculamos limites es más general que este caso? me explico... en el ejercicio 2 de esta práctica cuando escribimos las ecuaciones de las asíntotas verticales (AV: x=2/3) el límite que buscamos fue lim x-->2/3, así en general y no agregándole un +(por derecha) y un -(por izquierda). En este ejercicio sí estamos haciendo eso (ver el resultado por izquierda y derecha), mi pregunta entonces es ¿por qué en algunos casos sí se hace más general y en otros, más desarrollado?
Lo mismo con asíntota horizontal en este caso y también el ejemplo del ejercicio 2 de esta misma práctica. En el ejercicio 2 la ecuación de la asíntota horizontal es (AH: y=5/3) y el límite se buscó como lim x--> +- oo (mas arriba, menos abajo, intinito). En cambio en este ejercicio buscando el límite se separan, por un lado X tendiendo a menos infinito y por el otro X tendiendo a mas infinito, no es general como el del ejercicio 2. Es la misma pregunta que lo anterior.
Muchas gracias y perdón por haberlo hecho de manera tan extendida jajaj, espero que se haya entendido!
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Julieta
PROFE
19 de septiembre 15:48
@Tatiana Hola Tati, me encantó tu redacción porque se entendió perfecto. 

En general si te piden graficar sí tenés que hacer el análisis de los límites por ambos lados, porque eso te permite graficar. Si es simplemente para informar las asíntotas no hace falta, peeeeero, como les cuento en el video de asíntotas, hay profes que prefieren que lo hagan de ambos lados y a otros les basta solo con un lado. Eso depende de cada profe. Yo les muestro ambas formas. 

Otra variante es que te pidan "la asíntota vertical por derecha" y en ese caso vas a planteas x -> nº+nº^+, por ejemplo.
1 Responder